List circular backbone colouring

A natural generalization of graph colouring involves taking colours from a metric space and insisting that the endpoints of an edge receive colours separated by a minimum distance dictated by properties of the edge. In the q-backbone colouring problem, these minimum distances are either q or 1, depending on whether or not the edge is in the backbone. In this paper we consider the list version of this problem, with particular focus on colours in Zp – this problem is closely related to the problem of circular choosability. We first prove that the list circular q-backbone chromatic number of a graph is bounded by a function of the list chromatic number. We then consider the more general problem in which each edge is assigned an individual distance between its endpoints, and provide bounds using the Combinatorial Nullstellensatz. Through this result and through structural approaches, we achieve good bounds when both the graph and the backbone belong to restricted families of graphs. Key-words: backbone colouring, list colouring, planar graph, combinatorial Nullenstellensatz ∗ Projet Mascotte, I3S (CNRS, UNSA) and INRIA Sophia Antipolis and Simon Fraser University, PIMS, UMI 3069, CNRS. Partly supported by ANR Blanc International GRATEL and ANR Blanc AGAPE. † Departments of Mathematics and Computing Science, Simon Fraser University, Burnaby, BC, Canada. Supported by a PIMS Postdoctoral Fellowship and the NSERC Discovery Grants of Pavol Hell and Bojan Mohar. ha l-0 07 59 52 7, v er si on 1 30 N ov 2 01 2 Coloration dorsale circulaire sur listes Résumé : Une généralisation naturelle de la coloration de graphe requiert de prendre des couleurs dans un espace métrique et que deux sommets reliés par une arête reçoivent des couleurs séparées par une distance minimum imposée par les propriétés de l’arête. Dans les cas de la coloration q-dorsale, ces distances minimum valent q ou 1, suivant que l’arête est dans la dorsale ou non. Dans ce rapport, nous considérons un version sur listes de ce problème, en prenant des couleurs dans Zp – ce problème est étroitement lié au problème de la choisissabilité circulaire. Nous prouvons d’abord que la choisissabilité q-dorsale circulaire d’un graphe est majorée par une fonction de la choisissabilité. Nous considérons ensuite un problème plus général dans lequel chaque arête est munie d’une distance propre requise entre ses extrémités et donnons des bornes supérieures à l’aide du Nullstellensatz combinatoire. A l’aide de ce résultat et d’approches structurelles, nous obtenons de bonnes bornes quand le graphe et la dorsale appartiennent à des classes particulières de graphes. Mots-clés : coloration dorsale, coloration sur listes, graphe planaire, Nullenstellensatz combinatoire ha l-0 07 59 52 7, v er si on 1 30 N ov 2 01 2 List circular backbone colouring 3